Начал заниматься теннисом в семь лет. Первым тренером был Иван Виноградов.
4 года прожил в Саратове, именно тогда он стал активно играть в теннис на различных турнирах. Свой первый международный турнир сыграл в 16 лет в категории «сателлит» в Египте. В молодости несколько лет тренировался в Италии.
Член сборной клуба ЦСКА, победившей на чемпионате России 2003 и 2004 года среди клубных команд. Чемпион России 2005 года в одиночке и паре (с Сергеем Демехиным).
На счету Игоря Куницына шесть побед на «челленджерах» (за 12 финалов): в 2004 году – Фергана (хард), Тольятти (хард); в 2005 году – Саранск (грунт); в 2007 году – Шрюсбери (хард в зале); в 2008 году – Донецк (хард); в 2010 году — Астана (хард).
На мировой арене известен более как парный игрок – в паре с Турсуновым он дошёл до полуфинала Ролан Гаррос-2008, а также выигрывал парные матчи на этапах Кубка Дэвиса.
В октябре 2008 года Игорь Куницын стал победителем в мужском одиночном разряде международного теннисного турнира «Кубок Кремля», обыграв Марата Сафина. До этого он ни разу не побеждал на турнирах АТР. Его лучшими достижениями на турнирах ATP были полуфиналы на Кубке Кремля в 2005 и 2006 годах, в Санкт-Петербурге в 2006 году, в Пёрчахе и Вашингтоне в 2008 году. До победы над Сафиным занимал 72-е место в мировом рейтинге. В июле 2009 года поднялся за 35-е место в мировой классификации теннисистов-профессионалов. Пока что это высшее достижение в рейтинг-листе Куницына.
Работал с тренером Рикардо Пьятти и Виталием Гориным, в настоящее время работает с Алленом Фоксом.
Женат. Жена Ирина Корниенко — бывшая теннисистка, в настоящее время работает детским тренером. Игорь находится в приятельских отношениях с несколькими российскими теннисистами, а также хорватом Иваном Любичичем.