Международная карьера
В 2017 года Мартинес в составе молодёжной сборной Аргентины принял участие в молодёжном чемпионате Южной Америки в Эквадоре. На турнире он сыграл в матчах против команд Перу, Боливии, Колумбии, Бразилии, Эквадора а также дважды Венесуэлы и Уругвая. Родриго забил пять мячей и вместе с Брианом Кабесасом, Родриго Амаралем и Марсело Торресом стал лучшим бомбардиром турнира.
В том же году Мартинес принял участие в молодёжном чемпионате мира в Южной Корее. На турнире он сыграл в матчах против команд Гвинеи, Англии и Южной Кореи. В поединке против гвинейцев Лаутаро сделал «дубль».
27 марта 2018 года в товарищеском матче против сборной Испании Мартинес дебютировал за сборную Аргентины, заменив во втором тайме Гонсало Игуаина.
Достижения
Индивидуальные
Лучший бомбардир Молодёжного чемпионата Южной Америки (5 мячей) — 2017