Начинал заниматься биатлоном у своего отца Павла Елисеева. Матвей — призёр чемпионатов мира среди юниоров по биатлону (2014) и летнему биатлону (2014).
На уровне взрослых неоднократно становился призёром этапов кубка IBU. В марте 2015 года впервые одержал победу на этапе Кубка IBU, проходившем в канадском Кэнморе, выиграв индивидуальную гонку. В общем зачёте Кубка IBU 2014/15 занял девятое место.