Родился Вильгельм в Хохнойкирхен-Гшайдте, Нижняя Австрия, Австро-Венгрия. Окончив гимназию в Мельке, он поступил в Венский Университет. Окончив университет, Байгльбёк устроился в 3-ю медицинскую университетскую клинику в Вене, где некоторое время трудился под началом профессора Хвостека. Через некоторое время Вильгельм получил место в 1-й медицинской университетской клинике; на сей раз работал он под началом Ганса Эппингера-младшего. К 1940-му Байгльбек уже стал старшим врачом, в мае 1941-го – врачом люфтваффе. В 1944-м Вильгельм получил звание профессора в своей альма-матер, Венском Университете.
На Нюрнбергском процессе Байгльбёк обвинялся за свои опыты над заключенными Дахау. В конце концов его признали виновным в преступлениях против человечества и в военных преступлениях; первоначальный приговор предполагал пятнадцать лет тюремного заключения. 31-го января 1951-го, однако, срок был снижен до десяти лет, а 15-го декабря того же года Вильгельм вышел из тюрьмы досрочно. Немалую роль в освобождении и реабилитации Байгльбёка сыграло немецкое общество терапевтов; основным козырем их рассуждений был тот факт, что в экспериментах Вильгельма заключенные не умирали. Вообще, эксперименты сводились к проверке воздействия морской воды на организм человека; в то время среди нацистских ученых рассматривались два разных подхода к использованию такой воды вместо питьевой – очищение её от соли (десалинизация) с помощью специальных химикатов либо же добавление в неё больших доз витамина С. Именно на 'подопечных' Байгльбёка и проверялись преимущества и недостатки двух методов.
Вскоре после выхода из тюрьмы Вильгельм смог устроиться по специальности; сначала он трудился во Фрайбурге, у Людвига Хайльмайера, а затем перебрался в Букстенхуд, Нижняя Саксония, Федеративная Республика Германия, где стал начальником терапевтического отделения. В Букстенхуде Байгльбёк и скончался, 22-го ноября 1963-го года.