Николай Иосифович Кваша родился 8 декабря 1929 года в городе Зиновьевск Украинской ССР (ныне — Кропивницкий, Украина). По национальности — украинец. Отец Николая — Иосиф Гаврилович был железнодорожником, мать Маланья Сергеевна работала швеей-надомницей.
В годы Великой Отечественной войны находился вместе с матерью в оккупированном Кировограде. Чтобы помочь семье, научился сапожничать. Ремонтировал обувь горожанам, за что получал кусок хлеба или тарелку серой муки. После освобождения города войсками Красной Армии в январе 1944 года, Николай продолжил обучение в школе. Одновременно с учёбой помогал солдатам рыть окопы и создавать укрепления для возможной обороны города, работал в колхозе. После войны активно занимался спортом — бегом, стрельбой в тире, боксом (участвовал в республиканских соревнованиях). Занимался в балетном кружке и 1948 году окончил Кировоградскую балетную студию. Среднюю школу окончил с золотой медалью и отправил документы для поступления в Одесское высшее мореходное училище, но по причине нахождения в оккупации в годы войны, ему было отказано в приёме. Поступил в Харьковский авиационный институт, однако после окончания третьего курса узнал, что всех выпускников вуза, находившихся в годы войны на оккупированной территории, направят работать на фабрику алюминиевой посуды. По этой причине он перевёлся на энергомашиностроительный факультет Харьковского политехнического института, который окончил с отличием в 1953 году по специальности «Двигатели внутреннего сгорания».