Окончил начальную школу. Служил в национальной литовской армии. Учился в Каунаском экономическом училище, где создал комсомольскую ячейку. С 1944 года - член Каунаского горкома комсомола.
С лета 1943 года, после окончания школы специального назначения, стал радистом подпольной радиостанции в Каунаса. Передавал жителям горорда сообщения Совинформбюро о положении на фронтах, зверствах фашистских оккупантов, призывал к борьбе с ними. Радиостанция была обнаружена фашистами, по счастливой случайноссти Юозасу удалось уйти. Получив новую рацию, Алексонис обосновался практически в центре города, около железнодороржной станции. Следя за вражескими эшелонами, сообщал о них в штаб партизанского движения. Советское командование получало ценнейшие сведения о передвижении вражеских эшелонов. В январе 1944 года, заметив слежку за домом, Алексонис перебрался на новое место в дом коммуниста-подпольщика Обелениса. На этот раз гитлероовцы действовали остотрожнее и смогли вычислить дерзкого партизана-радиста. Когда фашисты 5 апреля 1944 года окружили дом, где находилась радиостанция, Алексонис отстреливался до последнего патрона.
Звание Героя Советского Союза Юозасу Юльевичу Алексонису присвоено посмертно 1 июля 1958 года.
Награжден орденом Ленина. Имя Героя носят морское судно, средняя школа в Каунасе.