Родился Юрий в поселке Сясьстрой, что в Ленинградской области, в 136 километрах от Санкт-Петербурга.
В 1954-м он окончил с отличием Ленинградский государственный институт физической культуры им. П. Ф. Лесгафта.
Уже в юности он увлекался музыкой – и даже играл на барабанах в местной джаз-группе. В 1948-м Кукин попробовал писать собственные песни; чуть позже он начал сам их исполнять, под собственный же аккомпанемент (играл Юрий на семиструнной гитаре).
Творчество Кукина пользовалось немалым успехом – особенно среди туристов и геологов; немалую роль в этой популярности сыграло и то, что о тяготах походной жизни Юрий знал отнюдь не понаслышке.
'Физкультурное' образование помогало Юрию зарабатывать на жизнь – до 1973-го он проживал в Петродворце и трудился преподавателем фигурного катания в ряде детских спортивных школ. Помогала спортивная подготовка и вне преподавания – в 60-х Кукин несколько раз выезжал в составе геологических экспедиций в отдаленные уголки нашей страны – вроде Дальнего Востока, Камчатки и Памира. Главным его увлечением, однако, оставалась музыка. Не одни лишь друзья и родственники рукоплескали его игре – Юрий регулярно выигрывал премии на различных конкурсах и фестивалях вроде московского 'Конкурса туристической песни'.
После успеха фестиваля 'Белые ночи', прошедшего в Ленинграде в июне 1964-го, началось активное обсуждение идеи н ового конкурса самодеятельной песни. Прошел это конкурс годом позже, в качестве одного из мероприятий Пятого Ленинградского Фестиваля Молодежи; исполнялись на нем и песни Кукина – 'Париж' и 'За туманом'.
Профессиойально работать артистом Юрий начал в 1968-м; впрочем, став официальным сотрудником Ленконцерта, он продолжал подрабатывать и инструктором физкультуры в одном из ленинградских клубов.
В 1971-м Кукин устроился в Ленинградскую областную филармонию, а с 1988-го начал сотрудничать с театром-студией 'Бенефис'.
Довелось Юрию выпустить и несколько записей своих творений; его песни выходили как на пластинках, так и на аудиокассетах и компакт-дисках; избранные песни Кукина также публиковались в специальных сборниках.
Скончался музыкант 7-го июля 2011-го в Санкт-Петербурге, всего за 10 дней до своего 79-го дня рождения. 12-го июля 2011-го тело Юрия было предано земле на санкт-петербуржском Южном Кладбище.