Начал играть в футбол в 7 лет в ДЮСШ города Добруш. С 14 лет занимался в Республиканском училище олимпийского резерва (Минск).
В 1998 году подписал профессиональный контракт с клубом «БАТЭ». Играл за «МПКЦ-96», «РУОР», «Смену-БАТЭ», «РШВСМ-Олимпию» (все — Минск). В составе «БАТЭ» становился чемпионом Белоруссии. В матче Кубка УЕФА 2004/05 против тбилисского «Динамо» забил гол ударом от своих ворот.
С 2005 по 2010 год выступал за клуб «Москва», в составе которого дебютировал 12 марта 2005 года в матче с московским «Спартаком», в котором его клуб победил 2:0. Юрий в этом матче отразил пенальти. Лишь в своём 3-м матче за «Москву», против «Рубина», Жевнов пропустил мяч: его ворота на 1-й добавленной минуте 2-го тайма поразил Томаш Чижек. На следующий год Жевнов выбыл из состава, уступив Сергею Козко. С 2007 года Жевнов являлся игроком основного состава клуба, в нескольких играх которого выводил «Москву» в качестве капитана команды.
23 февраля 2010 года подписал четырёхлетний контракт с «Зенитом». Дебютировал в составе клуба 7 апреля 2010 года в матче Кубка России против тверской «Волги», сохранив свои ворота в неприкосновенности. Первую игру за «Зенит» в чемпионате России провёл 24 июля 2010 года в 14-м туре против «Ростова», матч закончился победой «Зенита» со счётом 3:1. Жевнов пропустил гол с пенальти на 88 минуте. В ночь с 25 на 26 августа 2010 года дебютировал за «Зенит» в еврокубках в мачте плей-офф Лиги чемпионов против «Осера», заменив получившего красную карточку Малафеева. 15 февраля 2012 года отыграл полный домашний матч 1/8 финала Лиги чемпионов пр отив «Бенфики».
Карьера в сборной
Участник молодёжного чемпионата Европы 2004 в Германии.
В 2002 году дебютировал в национальной сборной Белоруссии в матче с Узбекистаном. 2 марта 2010 года избран капитаном национальной сборной Белоруссии.
Достижения
Командные
БАТЭ
Чемпионат Белоруссии:
Чемпион: 2002
Серебряный призёр: 2003
Бронзовый призёр: 2001
«Москва»
Финалист Кубка России: 2006/07
«Зенит»
Чемпион России: 2010, 2011/2012
Обладатель Кубка России: 2009/10
Обладатель Суперкубка России: 2011
Личные
Лучший вратарь Белоруссии (2003)
Обладатель рекордной «сухой серии» чемпионатов Белоруссии — 763 минуты
Лучший игрок клуба «Москва»: 2007 (по голосованиям на официальном сайте клуба)
Лучший футболист Белоруссии 2010
Личная жизнь
Женат, есть дочь.