Родился 24 марта 1937 года в городе Ямполе Винницкой области Украины в семье военнослужащего. Отец - Алексей Никифорович (1907 - 1972). Мать - Анна Амбросиевна (1912г.рожд.), проживает на Украине. Супруга - Гресько Валентина Николаевна (1947г.рожд.), работает педагогом. Сын - Максим Александрович (1967г.рожд.).
Окончил Сорокский техникум культпросветработы Молдавской ССР (1951-1954), Московский институт культуры (1955-1959), Всесоюзную академию внешней торговли (1979-1981), а также курс информатики Школы экономики Лондонского университета (1968).
В период учебы на последнем курсе Московского института культуры был назначен Председателем спорткомитета города Химки Московской области, затем переведен на работу в Московский обком комсомола. С 1962 по 1965 год - инструктор и заместитель заведующего отделом спортивной и оборонно-массовой работы ЦК ВЛКСМ.
В студенческие годы за время работы в Подмосковье и в Центральном штабе комсомола проявил себя не только разносторонним спортсменом, но и хорошим организатором оздоровительной и спортивной работы среди детей и молодежи.
Был одним из инициаторов и первых организаторов массовых детских соревнований "Кожаный мяч" и "Золотая шайба". Много и полезно работал в различных спортивных федерациях страны в качестве представителя ЦК ВЛКСМ, участвовал в подготовке сборных команд Советского Союза к Олимпийским играм.
В 1968 году был направлен на работу в посольство СССР в Лондоне в качестве секретаря по вопросам внешней политики Англии. Его непродолжительная дипломатическая карьера была прервана провокацией британских властей, выславших из Англии в 1971 году большую группу сотрудников советских учреждений.
С 1972 года А.А.Гресько работает заместителем начальника управления международных спортивных связей Спорткомитета СССР. Обладал чрезвычайными полномочиями в конфликтных переговорных ситуациях, связанных с проведением первых встреч наших хоккеистов с командами профессионалов Канады.
В качестве "спортивного посла" уделял основное внимание работе по повышению авторитета и укреплению позиций советского спорта на международной арене, его представителей в международных спортивных организациях.
Среди его "затей" этого времени - инициатива и разработка плана "приземления" в Москве мужа королевы Великобритании Елизаветы II принца Филиппа, следовавшего на своем самолете из Лондона в Киев на чемпионат Европы по конному спорту в 1973 году. Появление в "красной Москве" члена королевской семьи, его визиты, даже в качестве президента Международной федерации конного спорта к руководителям режима, расстрелявшего царскую семью, стало первым прецедентом в преодолении существовавшего отказа Английского Двора идти на контакты с официальной властью Советского Союза.
Особое место в работе А.А.Гресько занимала пропаганда кандидатуры города Москвы как потенциального организатора летних Олимпийских Игр. В качестве Ответственного секретаря он руководил аппаратом созданного для этой цели Подготовительного комитета по выдвижению Москвы в качестве города-организатора Игр XXII Олимпиады 1980 года. В составе делегации Олимпийского комитета СССР и Моссовета на сессии МОК в Вене в 1974 году А.Гресько успешно отстаивает это право столицы СССР и с этого момента работает ответственным секретарем Оргкомитета Игр XXII Олимпиады 1980 года в Москве. Здесь же в Оргкомитете отвечал за разработку церемоний эстафеты Олимпийского огня, а также открытия и закрытия Олимпийских игр.
С 1990 года работал заместителем генерального директора электронной "Олимпийской лотереи".
В феврале 1997 года А.А.Гресько избирается Генеральным секретарем Олимпийского комитета России, а с ноября 1999 года становится Президентом Регионального общественного благотворительного фонда "Фонд Олимпийских программ".
А.А.Гресько - член исполкома Олимпийского комитета России. В разные годы являлся членом президиума Федераций СССР по футболу, боксу, легкой атлетике, хоккею. В 1970 - 1971 годах - член Королевского теннисного клуба в Лондоне.
Он автор ряда публикаций по истории Олимпийского движения, по проблемам подготовки Олимпийских игр в Москве, о физическом воспитании молодежи, роли спорта в развитии международного сотрудничества. В настоящее время является членом редакционного совета журнала "Русский бильярд", президентом попечительского совета негосударственного пенсионного фонда "Перспектива".
Организаторский и творческий труд А.А.Гресько отмечен рядом государственных наград. За вклад в развитие спортивного и олимпийского движения в стране он награжден высшей наградой Олимпийского комитета России - золотым знаком "За заслуги".
Спорт для А.А.Гресько не только основная сфера деятельности, но и любимое занятие: теннис, баскетбол. Он не является страстным охотником, но в хорошей компании готов походить с ружьем, не претендуя на обязательный успех.
Кроме универсального интереса к спорту, особенно к спорту высших достижений, любит автовождение, увлекается грядками и садоводством, неплохой кулинар, обожает своего кота Ричи.
Живет и работает в Москве.