Борис Михайлович Абрамович родился 29 января 1960 года в Красноярске. В 1983 году окончил Рижский институт гражданской авиации.
С 1983 года работал сменным инженером, начальником смены, затем начальником цеха авиационно-технической базы Красноярского объединенного авиаотряда. В 1986 году занял должность главного инженера на авиационном заводе № 67 в Красноярске. С 1988 по 1990 год (по другим данным – с 1988 по 1989 год) был начальником авиационно-технической базы аэропорта Черемшанка. С 1990 по 1995 год (по другим данным – 1989 по 1990 год) работал заместителем начальника управления по эксплуатации авиационной техники, затем главным инженером в Красноярском управлении гражданской авиации.
В 1995 году вместе с братом-близнецом Александром создал и возглавил ОАО "Сибирская авиатранспортная компания" (Сибавиатранс). В июне 1998 года был избран генеральным директором ОАО "Красноярские авиалинии" ("КрасЭйр"). После того как в мае 2005 года структуры, аффилированные с руководством "Красноярских авиалиний", приобрели контрольный пакет акций ОАО "Авиакомпания "Омскавиа"", Борис Абрамович вошел в совет его директоров, который возглавил Александр Абрамович. Летом 2004 года с учреждением управляющей компании ООО "ЭйрБридж" началось формирование крупнейшего авиационного альянса, в который вошли "Красэйр", "Домодедовские авиалинии", "Сибавиатр анс", "Омскавиа" и "Самара". Впоследствии альянс стал функционировать под брендом "ЭйрЮнион".
Согласно некоторым данным, опубликованным в 2006 году, "КрасЭйр" занимает пятое место среди российских авиакомпаний по объемам перевозок, тогда как большинство источников присваивают компании четвертое место. 17 мая 2006 года против руководства "КрасЭйр" было возбуждено уголовное дело по статье Уголовного кодекса РФ, предусматривающей наказание за "мошенничество, совершенное организованной группой либо в особо крупном размере". В августе того же года дело было закрыто за отсутствием состава преступления.
Абрамович является академиком Международной академии информации, заведующим кафедрой экономики и организации авиатранспортного производства Сибирской аэрокосмической академии, имеет ряд почетных званий. В 2005 году личное состояние Абрамовича было оценено в 1,7 миллиарда рублей.
Борис Абрамович женат, у него есть дочь.